Atomic structureand electronic properties of single-walled carbon nanotubes

Atomic structure
and electronic properties
of single-walled
carbon nanotubes

Teri Wang Odom*, Jin-Lin Huang*, Philip Kim†
& Charles M. Lieber*†
* Department of Chemistry and Chemical Biology, and † Division of Engineering
and Applied Sciences, HarvardUniversity, Cambridge,Massachusetts 02138, USA
 

Carbon nanotubes1 are predicted to be metallic or semiconducting
depending on their diameter and the helicity of the arrangement
of graphitic rings in their walls2–5. Scanning tunnelling
microscopy (STM) offers the potential to probe this prediction,
as it can resolve simultaneously both atomic structure and the
electronic density of states. Previous STM studies of multi-walled
nanotubes6–9 and single-walled nanotubes (SWNTs)10 have provided
indications of differing structures and diameter-dependent
electronic properties, but have not revealed any explicit relationship
between structure and electronic properties. Here we report
STM measurements of the atomic structure and electronic properties
of SWNTs. We are able to resolve the hexagonal-ring
structure of the walls, and show that the electronic properties
do indeed depend on diameter and helicity. We find that the
SWNT samples exhibit many different structures, with no one
species dominating.
The diameter and helicity of a defect-free SWNT are uniquely
characterized by the vector ch ¼ na1 þ ma2 [ ðn;mÞ that connects
crystallographically equivalent sites on a two-dimensional graphene
sheet, where a1 and a2 are the graphene lattice vectors and n and m
are integers (Fig. 1). Electronic band structure calculations2–5
predict that the (n,m) indices determine the metallic or semiconducting
behaviour of SWNTs. Zigzag (n,0) SWNTs should have two
distinct types of behaviour: the tubes will be metals when n/3 is an
integer, and otherwise semiconductors3–5. As ch rotates away from

(n,0), chiral (n,m) SWNTs are possible with electronic properties
similar to the zigzag tubes; that is, when ð2n þ mÞ=3 is an integer the
tubes are metallic, and otherwise semiconducting. The gaps of the
semiconducting (n,0) and (n,m) tubes should depend inversely on
diameter. Finally, when ch rotates 308 relative to (n,0), n ¼ m. The
(n,n) or armchair tubes are expected to be truly metallic with band
crossings at k ¼ 6 2=3 of the one-dimensional Brilluoin zone. It
has been suggested that SWNT samples produced by laser
vaporization11 and arc12 methods consist predominantly of (10,10)
metallic armchair tubes.
We have carried out STM measurements in ultra-high vacuum at
77 K on purified SWNT samples produced by laser vaporization11.
Typical atomically resolved images of a SWNT on the surface of a
rope, which consists of parallel tubes11, and isolated SWNTs on a
Au(111) substrate are shown in Fig. 2a and b, respectively. Figure 2a
shows the expected honeycombe lattice for a SWNT with a C–C
spacing of 0:14 6 0:02 nm. The chiral angle is readily determined by
identifying the zigzag tube axis direction (the line connecting sites
separated by 0.426 nm) relative to the sample tube axis. This shows
quite clearly that the tube is chiral with an axis orientated at an angle
of 28:0 6 0:58 relative to that for a zigzag nanotube. As the tube
axis is perpendicular to ch, this corresponds to the angle between ch
and (n,0) in Fig. 1. From this angle and the measured diameter of
1:0 6 0:05 nm, we can assign (n,m) indices of either (11,2) or (12,2);
the angle/diameter for (11,2) and (12,2) are -8.28/0.95nm and
-7.68/1.03 nm, respectively. We note that an (11,2) tube is expected
to be metallic, whereas a (12,2) tube should be semiconducting. The
helicity of the lower isolated SWNT in Fig. 2b was determined in a
similar manner, yielding a chiral angle of 211:0 6 0:58; the
diameter of this tube is 1:08 6 0:05 nm. These parameters match
closely the values expected for a (12,3) tube, 610.98/1.08 nm, and
reasonably exclude other choices of indices.
Central to the work reported here is our ability to characterize the
electronic properties of the atomically resolved nanotubes by
tunnelling spectroscopy. Specifically, current (I) versus voltage
(V) was measured at specific sites along the tubes and differentiated
to yield the normalized conductance, (V/I)dI/dV, which has been
shown13 to provide a good measure of the main features in the local
density of electronic states (LDOS) for metals and semiconductors.
The gradual increase in current in the I–V data (Fig. 2c, d) recorded
on the SWNTs imaged in Fig. 2a, b shows qualitatively that both
tubes are metallic. The LDOS determined from data sets recorded at
different locations along the tubes are very similar, demonstrating
the reproducibility of the measurements; furthermore, the LDOS
for both tubes are roughly constant between -600 and þ600mVas
expected for a metal. Small variations in the LDOS with energy are
not significant and arise from noise in the data. These spectroscopy
results are similar to those obtained on the Au(111) substrate except
that the surface state 450 meV below the Fermi level14 is also
observed on the latter.

The metallic behaviour of our (12,3) tube is in agreementwith the

prediction that ð2n þ mÞ=3 is an integer, and additionally suggests

that the indices for the tube in Fig. 2a are (11,2) rather than (12,2).

We have also characterized a metallic, achiral zigzag SWNT with a

diameter of 0:95 6 0:05 nm. This diameter is very close to the

expected 0.94nm diameter of a (12,0) tube, although possibly

indistinguishable from the 1.02nm diameter expected for a (13,0)

tube. There are two other important points that these data address.

First, curvature in the graphene sheet of a SWNT should cause

the p/j bonding and p*/j* antibonding orbitals on carbon to

mix and create a small gap at the Fermi level in these metallic

tubes3,5. We have not observed evidence for this small gap,

although it is possible that the thermal energy at 77 K, 7 meV,

smears the gap structure predicted to be of the order of 8 meV

for a (12,0) tube3. Second, the LDOS recorded on metallic

SWNTs in a rope and isolated on the substrate are similar, thus

suggesting that inter-tube interactions do not perturb the

electronic structure on an energy scale of 77 K.

We have also characterized a number of semiconducting SWNTs

in our studies. Indeed, more than half of the SWNTs observed either

as isolated tubes or in ropes were found to be moderate gap

semiconductors. A typical example of the atomically resolved

structural and tunnelling spectroscopy data obtained from isolated

SWNTs is shown in Fig. 3. Analysis of the image (Fig. 3a) shows that

the upper tube has a chiral angle of 11:2 6 0:58 (that is, opposite

helicity to the tubes in Fig. 2) and a diameter of 0:95 6 0:05 nm.

These angle/diameter constraints agree best with the 11.78/1.0nm

for a (14,-3) tube, although the 10.98/1.08nm angle/diameter of the

next closest (15,-3) indices are close to our uncertainty. The I–V

data recorded with this atomic-resolution image (Fig. 3b inset)

shows distinctly different behaviour from the metallic tubes and is

consistent with a semiconductor; that is, the current is very small for

2300 < V < þ400mVbut increases sharply when jVj is increased

further. The calculated (V/I)dI/dV shows sharp increases at -325

and þ425mV that correspond to the conduction and valence band

edges in the LDOS, and thus we assign a bandgap of 750 meV.

The observed semiconducting behaviour is consistent with the

expectation that a (14,-3) tube should be a moderate gap semiconductor

(that is, ð2n þ mÞ=3 is not an integer). In addition, we

have observed similar semiconducting behaviour for other chiral

and zigzag tubes characterized with atomic resolution. A summary

of the energy gaps (Eg) obtained from these measurements for tubes

with diameters between 0.6 and 1.1nm is shown in Fig. 3c. These

results show the expected1 1/diameter (d) dependence, and can be

fitted to Eg ¼ 2g0aC–C=d, where g0 ¼ 2:45 eV is the nearest-neighbour

overlap integral and aC–C is the C–C distance. Significantly, this

value of g0 is in good agreement with the value (2.5 eV) determined

from calculations1, and provides an additional consistency check in

this work.

Our observation of semiconducting and metallic SWNTs with

subtle changes in structure clearly confirm the remarkable electronic

behaviour of the nanotubes that may be exploited in future

Agustin Egui

EES

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The low energy electronic band structure of

The low energy electronic band structure of
bilayer graphene

E. McCann, D.S.L. Abergel, and V.I. Fal'ko
Department of Physics, Lancaster University, Lancaster LA1 4YB, UK

Abstract. We employ the tight binding model to describe the electronic band
structure of bilayer graphene and we explain how the optical absorption coefficient
of a bilayer is influenced by the presence and dispersion of the electronic bands, in
contrast to the featureless absorption coefficient of monolayer graphene. We show
that the effective low energy Hamiltonian is dominated by chiral quasiparticles
with a parabolic dispersion and Berry phase 2π. Layer asymmetry produces a gap
in the spectrum but, by comparing the charging energy with the single particle
energy, we demonstrate that an undoped, gapless bilayer is stable with respect to
the spontaneous opening of a gap. Then, we describe the control of a gap in the
presence of an external gate voltage. Finally, we take into account the influence of
trigonal warping which produces a Lifshitz transition at very low energy, breaking
the isoenergetic line about each valley into four pockets.

Introduction

Following the fabrication of monolayer graphene [1], the observation of an unusual sequencing
of quantum Hall effect plateaus [2] was explained in terms of Dirac-like chiral quasiparticles
with Berry phase π [3–6]. Subsequently, bilayer graphene became the subject of intense interest
in its own right. This followed the realisation that the low energy Hamiltonian of a bilayer
describes chiral quasiparticles with a parabolic dispersion and Berry phase 2π [7] as confirmed
by quantum Hall effect [8] and ARPES measurements [9].
The electronic band structure of bilayer graphene has been modelled using both density
functional theory [10–12] and the tight binding model [7,13–17]. It has been predicted [7]
that asymmetry between the on-site energies in the layers leads to a tunable gap between the
conduction and valence bands. The dependence of the gap on external gate voltage has been
modelled taking into account screening within the tight binding model [12,16,17] and such
calculations appear to be in good agreement with ARPES measurements [9], observations of
the quantum Hall effect [17], and density functional theory calculations [12].
In this paper, we describe the tight binding model of bilayer graphene and the corresponding
low energy band structure in section 2. Section 3 explains how the optical absorption coefficient
of bilayer graphene is influenced by the presence and dispersion of the electronic bands
[18, 19], in contrast to the featureless absorption coefficient of monolayer graphene. We obtain
the effective low energy Hamiltonian of bilayer graphene in section 4 and we show that it is
dominated by chiral quasiparticles with a parabolic dispersion and Berry phase 2π. Section 5
describes the opening of a gap in bilayer graphene due to layer asymmetry with a description
of the band structure in section 5.1, a demonstration that an undoped, gapless bilayer is stable
with respect to the opening of a gap in section 5.2, and a calculation using a self-consistent
Hartree approximation to describe the control of the gap in the presence of external gates in
section 5.3. In section 6 we take into account the effect of trigonal warping on the band structure
and we present our conclusions in section 7.

Agustin Egui

EES

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CAMPO MAGNETICO

Descubren que los electrones pueden imitar un campo magnético que no existe

Los ordenadores cuánticos están ahora más cerca. Un equipo internacional de físicos ha conseguido reproducir el Efecto Hall cuántico, que permite mover electrones para aprovechar así las cualidades de su espín y de su movimiento en computación, sin necesidad de temperaturas extremadamente bajas ni de campos magnéticos intensos, principales obstáculos para la fabricación de ordenadores de la próxima generación. Utilizando una novedosa técnica, basada en un acelerador y un bloque de antimonio y bismuto, los investigadores consiguieron que los electrones de dicho bloque se movieran como si estuvieran sometidos a un campo magnético, aunque sin estarlo. Nuevos diseños computacionales podrán aprovechar este avance. Por Yaiza Martínez de Tendencias Científicas.

16 Feb 2009 | TENDENCIAS CIENTÍFICAS

Un equipo internacional de científicos liderado por investigadores de la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, ha descubierto que en la superficie de ciertos materiales las disposiciones colectivas de electrones pueden moverse como si imitaran la presencia de un campo magnético, aunque este campo no se encuentre presente.

Este movimiento constatado refleja uno de los fenómenos cuánticos más exóticos de la física de la materia condensada, el del efecto Hall cuántico.

El descubrimiento podría, además, allanar el camino hacia la fabricación de ordenadores cuánticos con la flexibilidad de operar a temperaturas moderadas, en contraposición a las bajas temperaturas estándar requeridas para los actuales dispositivos informáticos más potentes, informa la National Science Foundation (patrocinadora de la investigación) de Estados Unidos en un comunicado.

Obstáculos para la computación cuántica

En el pasado, los científicos habían podido observado el efecto Hall cuántico en movimientos similares de electrones, pero estando éstos sometidos a campos magnéticos muy intensos y a muy bajas temperaturas.

El efecto Hall cuántico es un fenómeno exclusivo de ciertos materiales electrónicos, y supone que electrones obligados a moverse en las dos dimensiones de un plano, en presencia de un campo magnético potente y a temperaturas próximas al cero absoluto (-273°C), generen un voltaje que no aumenta proporcionalmente con la intensidad del campo, sino que lo hacen a saltos o escalones.

Los valores de esos saltos serían submúltiplos (es decir, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2) de un voltaje fundamental relacionado con la constante cuántica de Planck y la carga del electrón.

Pero la utilidad del efecto Hall cuántico fraccionario para la electrónica cuántica (porque permitiría producir un "tejido" que serviría para preservar información en el registro de las partículas) ha resultado improbable hasta ahora, dadas las bajísimas temperaturas y elevados campos magnéticos necesarios para su generación. Sin embargo, las cosas pueden cambiar.

Campo magnético fantasma

Hace algún tiempo, teóricos de la Universidad de Pennsylvania y de la Universidad de California en Berkeley propusieron que en ciertos materiales tridimensionales, las disposiciones colectivas de electrones podrían moverse para generar el efecto Hall cuántico, sin necesidad de potentes campos magnéticos o temperaturas demasiado bajas.

Pero, para que esto ocurriera, señalaron entonces los científicos, los electrones deberían moverse a velocidades extremadamente elevadas.

Ahora, el físico de la Universidad de Princeton, Zahid Hasan, en colaboración con otros físicos de Estados Unidos, Suiza y Alemania, ha observado que los espines (momentos angulares de los electrones) de muchos electrones en movimiento dentro de un material exótico pueden sincronizarse, sin necesidad de campo magnético alguno ni velocidades extremas. El material en el que se produjo el "milagro" fue un bloque de antimonio y bismuto.

El experimento partió de la sospecha de que los electrones del bismuto ligado al antimonio exhibirían un efecto cuántico que simularía la presencia de un campo magnético, porque estos electrones se mueven a muy grandes velocidades. Esto permitiría que el movimiento cuántico predicho tuviera lugar.

Según declaró Hasan en el comunicado de la NSF , "el resultado es muy sorprendente porque estamos viendo electrones con un comportamiento muy similar al que tienen los electrones ante un campo magnético potente, sin que dicho campo se encuentre en el experimento". En la revista Science ha aparecido publicado un artículo en el que se detalla el procedimiento.

Técnica basada en un acelerador

A grandes rasgos, para conseguir el movimiento de los electrones, los investigadores utilizaron una técnica basada en un acelerador llamada "spin-resolved angle-resolved photoemission", que permitió además medir simultáneamente la energía, la longitud de onda y el espín de los electrones en la superficie del material del experimento.

Según los científicos, el movimiento obtenido y registrado podría transformar la electrónica, el almacenamiento de datos y la computación.

La razón es que, además de la carga eléctrica, los electrones poseen propiedades magnéticas inherentes, y una capacidad interna de rotación que los hace comportarse como minúsculos imanes que contuvieran en sí el polo negativo y el positivo (esta propiedad fue bautizada por el físico británico Paul Dirac como "el espín cuántico").

Hoy día, los ordenadores aplican una lógica simple de on-off, basada en el movimiento y almacenamiento de electrones en un semiconductor de silicio. Nuevos diseños podrían dirigir y aprovechar las capacidades adicionales que ofrecen el movimiento y el espín cuántico de los electrones, en materiales experimentales que reduzcan el consumo de energía y mejoren el rendimiento de los ordenadores.

Antecedentes

Tal y como publicamos anteriormente el efecto Hall cuántico también fue estudiado por un equipo de físicos del Weizmann Institute de Israel, en este caso para generar cuasipartículas (con una carga eléctrica equivalente a una cuarta parte de la carga fundamental del electrón) a partir de arseniuro de galio.

Estas cuasipartículas con un cuarto de la carga del electrón actúan de manera muy distinta del resto de las partículas con carga fraccionada, y por eso han sido buscadas como fundamento para la fabricación de un hipotético ordenador cuántico topológico de gran potencia, pero al mismo tiempo, altamente estable.

El ordenador cuántico es el sueño de todas las agencias de seguridad y de todos los hackers del mundo. Los bits de los ordenadores actuales oscilan constantemente entre el 0 y el 1 mientras llevan a cabo su trabajo. Pero, en los sistemas cuánticos partículas como el átomo, el electrón o el fotón pueden presentar el 0 y el 1 a la vez, permitiendo a los ordenadores hacer cálculos mucho más complejos, seguros y veloces que los que realizan actualmente.

Agustin Egui

EES

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Nearly Free Electron Approximation

Nearly Free Electron Approximation

The nearly-free electron model is a modification of the free-electron gas model which includes a weak periodic perturbation meant to model the interaction between the conduction electrons and the ions in a crystalline solid. This model, like the free-electron model, does not take into account electron-electron interactions; that is, the independent-electron approximation is still in effect.
As shown by Bloch's theorem, introducing a periodic potential into the Schrödinger equation results in a wave function of the form

where the function u has the same periodicity as the lattice:

(where T is a lattice translation vector.)
A solution of this form can be plugged into the Schrödinger equation, resulting in the central equation:

where

and C_k and U_G are the Fourier coefficients of the wavefunction ψ(r) and the potential energy U(r), respectively:

The vectors G are the reciprocal lattice vectors, and the discrete values of k are determined by the boundary conditions of the lattice under consideration.
In any perturbation analysis, one must consider the base case to which the perturbation is applied. Here, the base case is with U(x) = 0, and therefore all the Fourier coefficients of the potential are also zero. In this case the central equation reduces to the form

This identity means that for each k, one of the two following cases must hold:

1. ,
   
2. 

If the values of λ_k are non-degenerate, then the second case occurs for only one value of k, while for the rest, the Fourier expansion coefficient C_k must be zero. In this non-degenerate case, the standard free electron gas result is retrieved:

In the degenerate case, however, there will be a set of lattice vectors k₁, ..., k_m with λ₁ = ... = λ_m. When the energy ε is equal to this value of λ, there will be m independent plane wave solutions of which any linear combination is also a solution:

Non-degenerate and degenerate perturbation theory can be applied in these two cases to solve for the Fourier coefficients C_k of the wavefunction (correct to first order in U) and the energy eigenvalue (correct to second order in U). An important result of this derivation is that there is no first-order shift in the energy ε in the case of no degeneracy, while there is in the case of near-degeneracy, implying that the latter case is more important in this analysis. Particularly, at the Brillouin zone boundary (or, equivalently, at any point on a Bragg plane), one finds a two-fold energy degeneracy that results in a shift in energy given by:

This energy gap between Brillouin zones is known as the band gap, with a magnitude of 2 | U_K | .

The approximation resulting from the assumption that electrons in metals can be analysed using the kinetic theory of gases, without taking the periodic potential of the metal into account. This approximation gives a good qualitative account of some properties of metals, such as their electrical conductivity. At very low temperatures it is necessary to use quantum statistical mechanics rather than classical statistical mechanics. The free-electron approximation does not, however, give an adequate quantitative description of the properties of metals. It can be improved by the nearly free electron approximation, in which the periodic potential is treated as a perturbation on the free electrons.


Agustin Egui
EES

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EFECTO HALL

Efecto Hall

El efecto Hall consiste en la aparición de un campo eléctrico en un conductor cuando es atravesado por un campo magnético. A este campo eléctrico se le llama campo Hall. Llamado efecto Hall en honor a su descubridor Edwin Duntey Hall.
En épocas contemporáneas (1985) el físico alemán Klaus von Klitzing y colaboradores descubrieron el hoy conocido como efecto Hall cuántico le valió el premio Nóbel de física en 1985. En 1998, se otorgó un nuevo premio Nóbel de Física a los profesores Laughlin, Strömer y Tsui por el descubrimiento de un nuevo fluido cuántico con excitaciones de carga fraccionarias. Este nuevo efecto ha traído grandes problemas a los físicos teóricos y hoy en día, constituye uno de los campos de investigación de mayor interés y actualidad en toda la física del estado sólido.

Explicación cualitativa del efecto Hall clásico
Cuando por un material conductor o semiconductor, circula una corriente eléctrica, y estando este mismo material en el seno de un campo magnético, se comprueba que aparece una fuerza magnética en los portadores de carga que los reagrupa dentro del material, esto es, los portadores de carga se desvían y agrupan a un lado del material conductor o semiconductor, apareciendo así un campo eléctrico perpendicular al campo magnético y al propio campo eléctrico generado por la batería (F_m). Este campo eléctrico es el denominado campo Hall (E_H), y ligado a él aparece la tensión Hall, que se puede medir mediante el voltímetro de la figura.
En el caso de la figura, tenemos una barra de un material desconocido y queremos saber cuales son sus portadores de carga. Para ello, mediante una batería hacemos circular por la barra una corriente eléctrica. Una vez hecho esto, introducimos la barra en el seno de un campo magnético uniforme y perpendicular a la tableta.
Aparecerá entonces una fuerza magnética sobre los portadores de carga, que tenderá a agruparlos a un lado de la barra, apareciendo de este modo una tensión Hall y un campo eléctrico Hall entre ambos lados de la barra. Dependiendo de si la lectura del voltímetro es positiva o negativa, y conociendo el sentido del campo magnético y del campo eléctrico originado por la batería, podemos deducir si los portadores de carga de la barra de material desconocido son las cargas positivas o las negativas.
En la figura de al lado vemos como el material tiene dos zonas: la de la izquierda y la de la derecha. En una zona, los portadores son huecos y en la otra electrones.

Explicación cuantitativa del efecto Hall clásico

Sea el material por el que circula la corriente con una velocidad v al que se le aplica un campo magnético B. Al aparecer una fuerza magnética F_m, los portadores de carga se agrupan en una región del material, ocasionando la aparición de una tensión V_H y por lo tanto de un campo eléctrico E en la misma dirección. Este campo ocasiona a su vez la aparición de una fuerza eléctrica F_e con la misma dirección pero sentido opuesto a F_m. Cuando estas dos fuerzas llegan a un estado de equilibrio se tiene la siguiente situación:

La física clásica del efecto Hall

Sabemos que un campo magnético actúa sobre las cargas en movimiento (Fuerza de Lorentz).
Una corriente I que atraviesa un material consiste en cargas (electrones) que se desplazan (en sentido contrario a la corriente) con una velocidad que denominaremos v.
Si sumergimos esa corriente de electrones en un campo magnético B, cada uno de los electrones que forman la corriente estará sometidos a la fuerza de Lorenz F_m = -e.v^B.
(como en el dibujo se cambió el sentido de v, ya que se está considerando un electrón, no debería considerarse el signo negativo de la carga) Donde -e corresponde a la carga de un electrón, v el vector velocidad del electrón y B el vector campo magnético aplicado.

La dirección de la fuerza será perpendicular al plano formado por v y B (ya que es resultado del producto vectorial de ambos) y provocará un desplazamiento de electrones en esa dirección.
Como consecuencia tendremos una concentración de cargas negativas sobre uno de los lados del material y un déficit de cargas negativas en el lado opuesto. Esta distribución de cargas genera una diferencia de potencial entre ambos lados, la tensión de Hall V_H, y un campo eléctrico E_H.


Este campo eléctrico que genera a su vez una fuerza eléctrica sobre los electrones dada por la Ley de Coulomb, F_e = -e . E_H, que actúa en la misma dirección que la fuerza de Lorenz pero en sentido contrario a esta. El equilibrio se alcanzará cuando la suma de las dos fuerzas sea nula, de lo cual deducimos que en el equilibrio el valor del campo Hall es: E_H = -v^B.

En octubre de 1879, el físico Edward Hall descubrió el efecto que lleva su nombre.
Hall encontró que que si se aplica un campo magnético elevado a una fina lámina de oro por la que circula corriente, se produce un voltaje en la lámina transversalmente a como fluye la corriente, este voltaje se llama voltaje Hall. El esquema que sigue sirve para ilustrar el efecto.

El voltaje producido es proporcional a la relación entre el valor del campo magnético y la magnitud de la corriente. Observe como se produce el voltaje Hall, la diferencia de potencial se genera entre las caras transversales a las que está conectada la corriente de la batería. La resistencia R₁ sirve para limitar la corriente en el circuito a un valor seguro. El efecto Hall ocurre en conductores y semiconductores, en los conductores el voltaje generado es demasiado pequeño para tener aplicaciones prácticas, pero en algunos semiconductores el valor de este voltaje es mucho mas grande y puede ser utilizado para tal fin. Uno de los semicondutores con mayor efecto Hall es el arseniato de galio pero debido a la dificultades tegnológicas que tiene su uso la mayor parte de los generadores Hall se construyen de silicio mas fácil y mas resistente. Agustin Egui EES

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SEMICONDUCTORES

Un semiconductor es un elemento material cuya conductividad eléctrica puede considerarse situada entre las de un aislante y la de un conductor, considerados en orden creciente

Los semiconductores más conocidos son el siliceo (Si) y el germanio (Ge). Debido a que, como veremos más adelante, el comportamiento del siliceo es más estable que el germanio frente a todas las perturbaciones exteriores que puden variar su respuesta normal, será el primero (Si) el elemento semiconductor más utilizado en la fabricación de los componentes electrónicos de estado solido. A él nos referiremos normalmente, teniendo en cuenta que el proceso del germanio es absolutamente similar.

Como todos los demás, el átomo de silicio tiene tantas cargas positivas en el núcleo, como electrones en las órbitas que le rodean. (En el caso del silicio este número es de 14). El interés del semiconductor se centra en su capacidad de dar lugar a la aparición de una corriente, es decir, que haya un movimiento de electrones. Como es de todos conocido, un electrón se siente más ligado al núcleo cuanto mayor sea su cercanía entre ambos. Por tanto los electrones que tienen menor fuerza de atracción por parte del núcleo y pueden ser liberados de la misma, son los electrones que se encuentran en las órbitas exteriores. Estos electrónes pueden, según lo dicho anteriormente, quedar libres al inyectarles una pequeña energía. En estos recaerá nuestra atención y es así que en vez de utilizar el modelo completo del átomo de silicio (figura 1), utilizaremos la representación simplificada (figura 2) donde se resalta la zona de nuestro interés.

Como sabemos existen materiales capaces de conducir la corriente eléctrica mejor que otros. Generalizando, se dice que los materiales que presentan poca resistencia al paso de la corriente eléctrica son conductores. Analógicamente, los que ofrecen mucha resistencia al paso de esta, son llamados aislantes. No existe el aislante perfecto y prácticamente tampoco el conductor perfecto.
Existe un tercer grupo de materiales denominados semiconductores que, como su nombre lo indica, conducen la corriente bajo ciertas condiciones.
Lo que diferencia a cada grupo es su estructura atómica. Los conductores son, generalmente, metales esto se debe a que dichos poseen pocos átomos en sus últimas órbitas y, por lo tanto, tienen tendencia a perderlos con facilidad. De esta forma, cuando varios átomos de un metal, se acercan los electrones de su última órbita se desprenden y circulan desordenadamente entre una verdadera red de átomos. Este hecho (libertad de los electrones) favorece en gran medida el paso de la corriente eléctrica.
Los aislantes, en cambio, están formados por átomos con muchos electrones en sus últimas órbitas (cinco a ocho), por lo que, no tienen tendencia a perderlos fácilmente y a no establecer una corriente de electrones. De ahí su alta resistencia.
También existe otro tercer tipo de materiales, que cambia en mayor o menor medida la característica de los anteriores, los semiconductores. Su característica principal es la de conducir la corriente sólo bajo determinadas circunstancias, y evitar el paso de ella en otras.
Es, precisamente, en este tipo de materiales en los que la electrónica de estado sólida está basada. La estructura atómica de dichos materiales presenta una característica común: está formada por átomos tetravalentes (es decir, con cuatro electrones en su última órbita), por lo que les es fácil ganar cuatro o perder cuatro.

Un semiconductor es un componente que no es directamente un conductor de corriente, pero tampoco es un aislante. En un conductor la corriente es debida al movimiento de las cargas negativas (electrones). En los semiconductores se producen corrientes producidas por el movimiento de electrones como de las cargas positivas (huecos). Los semiconductores son aquellos elementos perteneciente al grupo IV de la Tabla Periódica (Silicio, Germanio, etc. Generalmente a estos se le introducen átomos de otros elementos, denominados impurezas, de forma que la corriente se deba primordialmente a los electrones o a los huecos, dependiendo de la impureza introducida. Otra característica que los diferencia se refiere a su resistividad, estando ésta comprendida entre la de los metales y la de los aislantes.

Disposición esquemática de los átomos de un semiconductor de silicio puro, No existen electrones ni huecos libres
La disposición esquemática de los átomos para un semiconductor de silicio podemos observarla en la figura de arriba, Las regiones sombreadas representan la carga positiva neta de los núcleos y los puntos negros son los electrones, menos unidos a los mismos.
La fuerza que mantiene unidos a los átomos entre sí es el resultado del hecho de que los electrones de conducción de cada uno de ellos, son compartidos por los cuatro átomos vecinos.

A temperaturas bajas la estructura normal es la que se muestra en la figura de arriba en la cual no se observa ningún electrón ni hueco libre y por tanto el semiconductor se comporta como un aislante.
Estos cuatro electrones se encuentran formando uniones covalentes con otros átomos vecinos para así formal un cristal, que es la forma que se los encuentra en la naturaleza. Si esta estructura se encuentra a una temperatura muy baja o en el cero absoluto, el cristal tendrá tan poca energía que no hará posible la conducción eléctrica. Al aumentar la temperatura (a temperatura ambiente por ejemplo) ciertos electrones adquieren suficiente energía para romper el enlace del que forman parte y "saltar" al siguiente orbital. Esto provoca la formación de un espacio vacío, que por carencia de electrones, posee carga positiva, a este espacio se lo denomina hueco.

El aumento de temperatura rompe algunas uniones entre átomos liberándose un cierto número de electrones.
En cambio, a la temperatura ambiente (20-25 grados C.) algunas de las fuertes uniones entre los átomos se rompen debido al calentamiento del semiconductor y como consecuencia de ello algunos de los electrones pasan a ser libres. En la figura siguiente se representa esta situación. La ausencia del electrón que pertenecía a la unión de dos átomos de silicio se representa por un círculo,
La forma en que los huecos contribuyen a la corriente, se detalla seguidamente Cuando un electrón puede vencer la fuerza que le mantiene ligado al núcleo y por tanto abandona su posición, aparece un hueco, y le resulta relativamente fácil al electrón del átomo vecino dejar su lugar para llenar este hueco.
Este electrón que deja su sitio para llenar un hueco, deja a su vez otro hueco en su posición inicial, De esta manera el hueco contribuye a la corriente lo mismo que el electrón, con una trayectoria de sentido opuesto a la de éste.

Niveles De Energía

Un cristal está formado por un conjunto de átomos muy próximos entre sí dispuestos espacialmente de forma ordenada de acuerdo con un determinado patrón geométrico. La gran proximidad entre los átomos del cristal hace que los electrones de su última capa sufran la interacción de los átomos vecinos.
El nivel energético de cada uno de estos electrones puede estar situado en la "banda de valencia" o en la "banda de
conducción" del cristal. Un electrón que ocupe un nivel dentro de la banda de valencia está ligado a un átomo del cristal y no puede moverse libremente por él mientras que si el nivel ocupado pertenece a la banda de conducción, el electrón puede moverse libremente por todo el cristal, pudiendo

Formar parte de una corriente eléctrica.
Entre la banda de valencia y la de conducción existe una "banda prohibida", cuyos niveles no pueden ser ocupados por ningún electrón del cristal. Según la magnitud de esta banda, los cristales pueden clasificarse en aislantes, conductores y semiconductores

La magnitud de la banda prohibida es pequeña ( 1 eV ), de forma que a bajas temperaturas son aislantes, pero conforme aumenta la temperatura algunos electrones van alcanzando niveles de energía dentro de la banda de conducción, aumentando la conductividad. Otra forma de aumentar la conductividad es añadiendo impurezas que habiliten niveles de energía dentro de la banda prohibida.
El germanio y el silicio son semiconductores.

Aceptadores Y Donadores
Se denomina semiconductor puro aquél en que los átomos que lo constituyen son todos del mismo tipo (por ejemplo de germanio), es decir no tiene ninguna clase de impureza.
Si a un semiconductor puro como el silicio o el germanio, se le añade una pequeña cantidad de átomos distintos (por ejemplo arsénico, fósforo, etc). Se transforma en un semiconductor impuro.
A las impurezas se las clasifica en donadoras y aceptadoras.
Si a la estructura del semiconductor de silicio se le añade alguna impureza, como puede ser el arsénico (As), que tiene cinco electrones externos ligados al núcleo con carga positiva +5, se obtiene la forma que se muestra en la figura.
Ahora, bien para aumentar la conducción de cualquier semiconductor se recurre a un proceso denominado "dopado" o "envenenamiento". El objeto del mencionado proceso es el del aumentar la cantidad de portadores libres en el cristal provocando un aumento en la conductividad del mismo (recordar que la corriente es el flujo de portadores)
El dopado del cristal es realizado con átomos trivalentes (con tres electrones en su última órbita) o pentavalentes (con cinco). Esta elección no es resultado de un proceso azaroso sino que uno u otro tipo de átomo aumentará a su vez la presencia de uno u otro tipo de portador. ¿Cómo es esto?: el silicio, como ya se ha dicho, tiene cuatro electrones en su última órbita que se combinan a su vez con otros átomos para formar un cristal. Al introducir un átomo penta o trivalente en dicho cristal, se provocará un aumento o un defecto de electrones que hará aumentar la cantidad portadores.
Si se introduce un átomo pentavalente (P, Sb, As) en un cristal puro, cuatro de sus electrones se unirán a cuatro electrones de los átomos de silicio vecinos, pero el quinto queda libre, sin formar parte de ninguna unión, por lo que está débilmente ligado al átomo:   Este electrón libre, requerirá muy poca energía para "saltar" a la banda de conducción. La energía térmica del ambiente basta para provocar este salto. De esta forma al agregar átomos pentavalentes agregamos electrones en la banda de conducción, es decir, agregamos portadores.
Cabe mencionar que los mencionados átomos pentavalentes se ubican en un nivel de energía mucho más cercano a la banda de conducción que la banda de valencia, denominado "nivel donador" este nivel se ubica a una distancia, energéticamente hablando, de 0,05 electron-volt, mientras que la distancia entre las bandas de un semiconductor es de 0,7 eV.
De la misma forma, podemos dopar al cristal con átomos trivalentes (como el boro, el Alumnio, el Galio, etc), esto provocará un exceso de electrones en el cristal, ya tres de los cuatro electrones de la última órbita del Silicio se combinan con los tres electrones del anterior átomo. Esto trae como consecuencia la generación de un espacio sin electrones, que tendrá carga positiva, es decir, esto generará un hueco.
De esta forma podemos controlar de manera casi definida, a través del dopado, la cantidad de electrones o huecos que existen en un cristal. A este tipo de cristal se le denomina extrínseco, ya que fue modificado por elementos exteriores

Semiconductores Tipo P Y Tipo N
Cuatro de los cinco electrones del átomo de arsénico se unirán a los correspondientes electrones de los cuatro átomos de silicio vecinos, y el quinto quedará inicialmente libre, sin una posible unión, y por tanto se convertirá en un portador de corriente. A este tipo de impurezas que entregan electrones portadores (negativos) se los denomina donadores o del tipo «n».
En un semiconductor con impurezas del tipo n, no sólo aumenta el número de electrones sino que también la cantidad de huecos disminuye por debajo del que tenía el semiconductor puro.

La causa de esta disminución se debe a que una parte de los electrones libres llena algunos de los huecos existentes.
Si al semiconductor puro de silicio se le añade algún tipo de impureza que tenga tres electrones externos, solo podrá formar tres uniones completas con los átomos de silicio, y la unión incompleta dará lugar a un hueco.
Este tipo de impurezas proporcionan entonces portadores positivos, ya que crean huecos que pueden aceptar electrones; por consiguiente son conocidos con el nombre de aceptores, o impurezas del tipo «p». Al contrario de lo que sucedía antes en el tipo n en un semiconductor con impurezas de tipo p los portadores que disminuyen son los electrones en comparación, con los que tenía el semiconductor puro.
A los semiconductores que contengan ya sea impurezas donadoras o aceptad se les llama respectivamente de tipo n o p. En un semiconductor del tipo n, los electrones se denominan portadores mayoritarios y los huecos portadores minontarios.

En un material de tipo p, los huecos son portadores mayoritarios, y los electrones portadores minoritarios.
Veamos ahora, qué ocurre si a un cristal extrínseco le conectamos una fuente externa de tensión. Al existir mayor cantidad de portadores (no importa de qué tipo), circulará por el cristal una corriente mucho mayor que en el no dopado. El valor de esta corriente dependerá de que tan contaminado esté el material.
Si el cristal es de tipo 'n' la corriente se deberá casi en su totalidad a los electrones en la banda de conducción, aunque siempre existe una pequeña corriente producida por los huecos generados térmicamente. Análogamente, si el cristal es del tipo 'p' la corriente estará regida por huecos mayormente, existiendo, sin embargo, una pequeña corriente de electrones.

Polarización Directa E Inversa De La Unión P-N
El diodo de unión P-N es el dispositivo semiconductor más elemental. Consiste en el dopado de una barra de cristal semiconductor en una parte con impurezas donadoras (tipo N) y en la otra con impurezas aceptadoras (tipo P)De esta forma, en la parte P existe mucha mayor concentración de huecos que de electrones libres y en la parte N ocurre lo contrario.

La conductividad del diodo es diferente según sea el sentido en que se aplique un campo eléctrico externo. Existen dos posibilidades de aplicación de este campo: polarización inversa y polarización directa.
Polarización inversa. Consiste en aplicar a la parte N del diodo una tensión más positiva que a la parte P. De esta forma, el campo eléctrico estará dirigido de la parte N a la parte P y los huecos tenderán a circular en ese sentido
Mientras que los electrones tenderán a circular en sentido contrario. Esto significa que circularían huecos de la parte N (donde son muy minoritarios) a la parte P (donde son mayoritarios), por lo que esta corriente se ve contrarrestada por una corriente de difusión que tiende a llevar a los huecos de donde son mayoritarios (parte P) hacia donde son minoritarios (Parte N). Por consiguiente, la corriente global de huecos es prácticamente nula. Algo totalmente análogo ocurre con la corriente de electrones, la corriente de arrastre va en sentido contrario a la de difusión, contrarrestándose ambas y produciendo una corriente total Prácticamente nula.

La corriente total es la suma de la de huecos más la de electrones y se denominan Corriente inversa de saturación ( Is ). En la práctica, el valor de esta corriente es muy pequeño (del orden de nA en el Silicio) y depende de la temperatura de forma que aumenta al aumentar Ésta.
Polarización directa.

Consiste en aplicar a la parte P del diodo una tensión más positiva que a la parte N. De esta forma, el campo eléctrico estará dirigido de la parte P a la parte N. Esto significa que circularían huecos de la parte P (donde son mayoritarios) a la parte N (donde son minoritarios) por lo que esta corriente tiene el mismo sentido que la corriente de difusión. De esta forma, la corriente total de huecos es muy alta. Un proceso análogo ocurre para la corriente de electrones. La corriente total es la suma de la de huecos y la de electrones y toma un valor elevado a partir de un determinado valor de tensión (tensión umbral, V) que depende del tipo de semiconductor (en el Silicio es aproximadamente de 0,7 V y en el Germanio de 0,2 V).
Puede considerarse que el diodo es el dispositivo binario más elemental, ya que permite el paso de corriente en un sentido y lo rechaza en sentido contrario.

Agustin Egui

EES

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